Relasi Fungsi
## Halo Detektif Hubungan! 🕵️
Selamat datang di Bab 4: **Relasi dan Fungsi**.
Kalau di media sosial kalian kenal istilah *"In a Relationship"*, di matematika juga ada! Bab ini membahas hubungan antara dua kelompok.
Ada dua istilah kunci:
1. **Relasi:** Hubungan biasa (Boleh jomblo, boleh selingkuh/pasangan banyak).
2. **Fungsi:** Hubungan spesial yang sangat setia.
Yuk, kita bedah!
---
### Bagian 1: Bedanya Relasi & Fungsi
Bayangkan ada dua kelompok:
* Kelompok A: **Anak** (Domain)
* Kelompok B: **Nomor Absen** (Kodomain)
#### 1. Relasi (Hubungan Bebas)
Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota A ke B. Tidak ada aturan ketat.
* Contoh: "Menukai makanan".
* Si Budi (A) boleh suka Nasi Goreng (B) DAN Bakso (B). (Satu orang punya 2 pasangan $\rightarrow$ Boleh).
* Si Andi (A) tidak suka makan apa-apa. (Jomblo $\rightarrow$ Boleh).
#### 2. Fungsi / Pemetaan (Hubungan Setia)
Ini adalah Relasi Khusus. Syarat menjadi Fungsi sangat ketat:
1. Semua anggota A **WAJIB punya pasangan** (Tidak boleh ada yang jomblo di A).
2. Pasangannya **HARUS TEPAT SATU** (Tidak boleh mendua/selingkuh).
**Ingat Prinsip Pemanah:**
Bayangkan anggota A adalah pemanah yang menembak ke sasaran B.
* **Fungsi:** Semua pemanah WAJIB menembak, dan hanya boleh menembak 1 kali.
* Sasaran (B) boleh kena tembak berkali-kali, atau tidak kena sama sekali (yang penting A-nya setia).
---
### Bagian 2: Istilah Gaul di Fungsi
Dalam fungsi, kita mengenal 3 daerah:
1. **Domain (Daerah Asal):** Anggota kelompok kiri (A) yang akan menembak.
2. **Kodomain (Daerah Kawan):** Anggota kelompok kanan (B) / Sasaran yang tersedia.
3. **Range (Daerah Hasil):** Anggota B yang BENAR-BENAR terkena panah (Hasil pilihan si A).
---
### Bagian 3: Notasi dan Rumus Fungsi ($f(x)$)
Ini bagian yang sering bikin bingung, padahal gampang.
Matematika menulis fungsi dengan gaya:
$$f(x) = ax + b$$
Artinya: "Mesin $f$ akan memproses bahan $x$ dengan cara dikali $a$ lalu ditambah $b$."
#### Contoh Soal: Nilai Fungsi
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 3x - 2$. Tentukan nilai dari $f(5)$!
**Pembahasan:**
Ganti setiap huruf $x$ dengan angka 5.
$$f(5) = 3(5) - 2$$
$$f(5) = 15 - 2$$
$$f(5) = 13$$
Gampang kan? Cuma ganti $x$-nya saja.
---
### Bagian 4: Menentukan Rumus Fungsi (Level Detektif)
Kadang, rumusnya disembunyikan. Kita cuma dikasih tahu hasil jadinya.
**Contoh:**
Suatu fungsi $f(x) = ax + b$.
Jika $f(2) = 5$ dan $f(1) = 3$, tentukan rumus fungsinya!
**Pembahasan:**
Kita punya dua "kode":
1. Ganti $x=2$, hasilnya 5 $\rightarrow$ $2a + b = 5$ ... (Persamaan 1)
2. Ganti $x=1$, hasilnya 3 $\rightarrow$ $1a + b = 3$ ... (Persamaan 2)
Lakukan **Eliminasi** (Kurangkan atas dengan bawah):
$$(2a + b) - (a + b) = 5 - 3$$
$$a = 2$$
Sekarang cari $b$. Pakai salah satu persamaan (misal Persamaan 2):
$$1(2) + b = 3$$
$$2 + b = 3$$
$$b = 1$$
Jadi, rumusnya adalah: **$f(x) = 2x + 1$**.
---
Selamat datang di Bab 4: **Relasi dan Fungsi**.
Kalau di media sosial kalian kenal istilah *"In a Relationship"*, di matematika juga ada! Bab ini membahas hubungan antara dua kelompok.
Ada dua istilah kunci:
1. **Relasi:** Hubungan biasa (Boleh jomblo, boleh selingkuh/pasangan banyak).
2. **Fungsi:** Hubungan spesial yang sangat setia.
Yuk, kita bedah!
---
### Bagian 1: Bedanya Relasi & Fungsi
Bayangkan ada dua kelompok:
* Kelompok A: **Anak** (Domain)
* Kelompok B: **Nomor Absen** (Kodomain)
#### 1. Relasi (Hubungan Bebas)
Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota A ke B. Tidak ada aturan ketat.
* Contoh: "Menukai makanan".
* Si Budi (A) boleh suka Nasi Goreng (B) DAN Bakso (B). (Satu orang punya 2 pasangan $\rightarrow$ Boleh).
* Si Andi (A) tidak suka makan apa-apa. (Jomblo $\rightarrow$ Boleh).
#### 2. Fungsi / Pemetaan (Hubungan Setia)
Ini adalah Relasi Khusus. Syarat menjadi Fungsi sangat ketat:
1. Semua anggota A **WAJIB punya pasangan** (Tidak boleh ada yang jomblo di A).
2. Pasangannya **HARUS TEPAT SATU** (Tidak boleh mendua/selingkuh).
**Ingat Prinsip Pemanah:**
Bayangkan anggota A adalah pemanah yang menembak ke sasaran B.
* **Fungsi:** Semua pemanah WAJIB menembak, dan hanya boleh menembak 1 kali.
* Sasaran (B) boleh kena tembak berkali-kali, atau tidak kena sama sekali (yang penting A-nya setia).
---
### Bagian 2: Istilah Gaul di Fungsi
Dalam fungsi, kita mengenal 3 daerah:
1. **Domain (Daerah Asal):** Anggota kelompok kiri (A) yang akan menembak.
2. **Kodomain (Daerah Kawan):** Anggota kelompok kanan (B) / Sasaran yang tersedia.
3. **Range (Daerah Hasil):** Anggota B yang BENAR-BENAR terkena panah (Hasil pilihan si A).
---
### Bagian 3: Notasi dan Rumus Fungsi ($f(x)$)
Ini bagian yang sering bikin bingung, padahal gampang.
Matematika menulis fungsi dengan gaya:
$$f(x) = ax + b$$
Artinya: "Mesin $f$ akan memproses bahan $x$ dengan cara dikali $a$ lalu ditambah $b$."
#### Contoh Soal: Nilai Fungsi
Diketahui rumus fungsi $f(x) = 3x - 2$. Tentukan nilai dari $f(5)$!
**Pembahasan:**
Ganti setiap huruf $x$ dengan angka 5.
$$f(5) = 3(5) - 2$$
$$f(5) = 15 - 2$$
$$f(5) = 13$$
Gampang kan? Cuma ganti $x$-nya saja.
---
### Bagian 4: Menentukan Rumus Fungsi (Level Detektif)
Kadang, rumusnya disembunyikan. Kita cuma dikasih tahu hasil jadinya.
**Contoh:**
Suatu fungsi $f(x) = ax + b$.
Jika $f(2) = 5$ dan $f(1) = 3$, tentukan rumus fungsinya!
**Pembahasan:**
Kita punya dua "kode":
1. Ganti $x=2$, hasilnya 5 $\rightarrow$ $2a + b = 5$ ... (Persamaan 1)
2. Ganti $x=1$, hasilnya 3 $\rightarrow$ $1a + b = 3$ ... (Persamaan 2)
Lakukan **Eliminasi** (Kurangkan atas dengan bawah):
$$(2a + b) - (a + b) = 5 - 3$$
$$a = 2$$
Sekarang cari $b$. Pakai salah satu persamaan (misal Persamaan 2):
$$1(2) + b = 3$$
$$2 + b = 3$$
$$b = 1$$
Jadi, rumusnya adalah: **$f(x) = 2x + 1$**.
---
Contoh Soal & Pembahasan
### Bagian 5: Latihan Soal
1. **Level 1 (Konsep):**
Himpunan A = {1, 2, 3}, B = {a, b}.
Relasi berikut: $\{(1,a), (2,a), (3,b)\}$
Apakah ini Fungsi? Jelaskan!
2. **Level 2 (Menghitung Nilai):**
Diketahui $f(x) = x^2 + 2x$. Hitunglah $f(-3)$!
3. **Level 3 (Mencari Bayangan):**
Fungsi $g(x) = 5x - 7$. Jika $g(a) = 8$, berapakah nilai $a$?
4. **Level 4 (Mencari Rumus):**
Pada fungsi linear $f(x) = ax + b$, diketahui $f(2) = 1$ dan $f(4) = 7$. Tentukan bentuk fungsinya!
5. **Level 5 (Korespondensi Satu-satu):**
Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari Himpunan A {a, b, c} ke Himpunan B {1, 2, 3}?
*(Rumus: $n!$ atau perkalian menurun).*
---
### Bagian 6: Kunci Jawaban
**Jawaban No. 1**
Cek syarat Fungsi:
1. Apakah semua anggota A (1, 2, 3) punya pasangan? **YA**.
2. Apakah pasangannya cuma satu?
- 1 pasangannya a (satu).
- 2 pasangannya a (satu).
- 3 pasangannya b (satu).
**YA**.
Kesimpulan: **Ini adalah FUNGSI**. (Walaupun si 'a' selingkuhan 1 dan 2, itu tidak masalah karena yang harus setia adalah A).
**Jawaban No. 2**
Ganti $x$ dengan $-3$. Hati-hati tanda negatif.
$$f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)$$
$$f(-3) = 9 + (-6)$$
$$f(-3) = 3$$
**Jawaban No. 3**
Ini kebalikannya. Hasilnya 8, cari $x$-nya (atau $a$).
$$5a - 7 = 8$$
$$5a = 8 + 7$$
$$5a = 15$$
$$a = 3$$
**Jawaban No. 4**
$f(4) \rightarrow 4a + b = 7$
$f(2) \rightarrow 2a + b = 1$
---------------------- (-) (Kurangkan)
$$2a = 6 \rightarrow a = 3$$
Cari $b$:
$$2(3) + b = 1$$
$$6 + b = 1$$
$$b = -5$$
Jadi rumus: **$f(x) = 3x - 5$**.
**Jawaban No. 5**
Jumlah anggota A = 3. Jumlah anggota B = 3.
Banyak kemungkinan = $3 \times 2 \times 1 = 6$ kemungkinan.
1. **Level 1 (Konsep):**
Himpunan A = {1, 2, 3}, B = {a, b}.
Relasi berikut: $\{(1,a), (2,a), (3,b)\}$
Apakah ini Fungsi? Jelaskan!
2. **Level 2 (Menghitung Nilai):**
Diketahui $f(x) = x^2 + 2x$. Hitunglah $f(-3)$!
3. **Level 3 (Mencari Bayangan):**
Fungsi $g(x) = 5x - 7$. Jika $g(a) = 8$, berapakah nilai $a$?
4. **Level 4 (Mencari Rumus):**
Pada fungsi linear $f(x) = ax + b$, diketahui $f(2) = 1$ dan $f(4) = 7$. Tentukan bentuk fungsinya!
5. **Level 5 (Korespondensi Satu-satu):**
Berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari Himpunan A {a, b, c} ke Himpunan B {1, 2, 3}?
*(Rumus: $n!$ atau perkalian menurun).*
---
### Bagian 6: Kunci Jawaban
**Jawaban No. 1**
Cek syarat Fungsi:
1. Apakah semua anggota A (1, 2, 3) punya pasangan? **YA**.
2. Apakah pasangannya cuma satu?
- 1 pasangannya a (satu).
- 2 pasangannya a (satu).
- 3 pasangannya b (satu).
**YA**.
Kesimpulan: **Ini adalah FUNGSI**. (Walaupun si 'a' selingkuhan 1 dan 2, itu tidak masalah karena yang harus setia adalah A).
**Jawaban No. 2**
Ganti $x$ dengan $-3$. Hati-hati tanda negatif.
$$f(-3) = (-3)^2 + 2(-3)$$
$$f(-3) = 9 + (-6)$$
$$f(-3) = 3$$
**Jawaban No. 3**
Ini kebalikannya. Hasilnya 8, cari $x$-nya (atau $a$).
$$5a - 7 = 8$$
$$5a = 8 + 7$$
$$5a = 15$$
$$a = 3$$
**Jawaban No. 4**
$f(4) \rightarrow 4a + b = 7$
$f(2) \rightarrow 2a + b = 1$
---------------------- (-) (Kurangkan)
$$2a = 6 \rightarrow a = 3$$
Cari $b$:
$$2(3) + b = 1$$
$$6 + b = 1$$
$$b = -5$$
Jadi rumus: **$f(x) = 3x - 5$**.
**Jawaban No. 5**
Jumlah anggota A = 3. Jumlah anggota B = 3.
Banyak kemungkinan = $3 \times 2 \times 1 = 6$ kemungkinan.